组合数的公式和变换技巧

有朋友给出了两道题：

1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？ K}B4X,'hE$6e=uU [ 本 资 料 来 源 于 贵 州 学 习 网 考研一方MBA/EMBA/MPA http://Www.gzU521.com ] K}B4X,'hE$6e=uU

2、设某射手对同一目标射击，直到射中r次为止，记x为使用的射击次数，已知命中率为p，求e（x）、d（x）。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。

先定义一个符号，用s（k=1，n）f（k）表示函数f（k）从k=1到k=n求和。（我不会用求和的符号）

公式1：
c（m-1，n-1）+c（m-1，n）=c（m，n）来源：www.gzu521.com

证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明
方法2、（更重要的思路）
c（m，n）是从m个物品中任选n个的方法。
从m个物品中任意指定一个。则选出n个的方法中，包含这一个的有c（m-1，n-1）种，不包含这一个的有c（m-1，n）种。
因此，c（m-1，n-1）+c（m-1，n）=c（m，n）

公式2：
s（k=n，m）c（k-1，n-1）=c（m，n） （m》=n）

证明：c（m，n）是从m个物品中任选n个的方法。
从m个物品中任意指定m-n个，并按次序编号为第1到第m-n号，而其余的还有n个。
则选出n个的方法可分类为：
包含1号的有c（m-1，n-1）种；
不包含1号，但包含2号的有c（m-2，n-1）种；
。。。。。。
不包含1到m-k号，但包含m-k+1号的有c（k-1，n-1）种
。。。。。。
不包含1到m-n-1号，但包含m-n号的有c（n，n-1）种来源：www.gzu521.com
不包含1到m-n号的有c（n，n）种，而c（n，n）=c（n-1，n-1）

由于两种思路都是从m个物品中任选n个的方法，因此
s（k=n，m）c（k-1，n-1）=c（m，n）

公式3：
s（k=0，n）c（p，k）*c（q，n-k）=c（p+q，n） （p，q）=n）

证明：一批产品包含p件正品和q件次品，则从这批产品中任选n件的选法为c（p+q，n）。而公式里面的k表示选法中正品数量，
c（p，k）*c（q，n-k）表示n件产品中有k件正品，n-k件次品的选法。k从0到n变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，s（k=0，n）c（p，k）*c（q，n-k）=c（p+q，n）

公式4（一种变换技巧）：
s（k=0，n）k*c（m，k）=s（k=0，n-1）m*c（m-1，k）

证明：
s（k=0，n）k*c（m，k）
=s（k=1，n）k*c（m，k）
=s（k=1，n）k*m！/k！/（m-k）！
=s（k=1，n）m*（m-1）！/（k-1）！/（m-k）！
=s（k=1，n）m*c（m-1，k-1）
=s（k=0，n-1）m*c（m-1，k）

公式5（公式4的同种）
s（k=0，n）k*（k-1）*c（m，k）
=s（k=0，n-2）m*（m-1）*c（m-2，k）

证明：（类似上式）
s（k=0，n）k*（k-1）*c（m，k）
=s（k=2，n）k*（k-1）*m！/k！/（m-k）！
=s（k=2，n）m*（m-1）*（m-2）！/（k-2）！/（m-k）！
=s（k=2，n）m*（m-1）*c（m-2，k-2）
=s（k=0，n-2）m*（m-1）*c（m-2，k）

公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。