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一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线y=lnx上与直线 垂直的切线方程为 . 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由 ，得x=1, 可见切点为 ，于是所求的切线方程为 ， 即 . 【评注】 本题也可先设切点为 ，曲线y=lnx过此切点的导数为 ，得 ，由此可知所求切线方程为 ， 即 . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知 ，且f(1)=0, 则f(x)= . 【分析】 先求出 的表达式，再积分即可。 【详解】 令 ，则 ，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得c=0，故所求函数为f(x)= . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》p89第8题, p90第11题. （3）设 为正向圆周 在第一象限中的部分，则曲线积分 的值为 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 在第一象限中的部分，可表示为 于是 = 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》p143例10.11，《考研数学大串讲》p122例5、例7 . （4）欧拉方程 的通解为 . 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令 ，则 ， ， 代入原方程，整理得 ， 解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 ，则欧拉方程 ， 可化为 完全类似的例题见《数学复习指南》p171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》p342第六题.，《考研数学大串讲》p75例12. （5）设矩阵 ，矩阵b满足 ，其中 为a的伴随矩阵，e是单位矩阵，则 . 【分析】 可先用公式 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘a，得 ， 而 ，于是有 ， 即 ， 再两边取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式为 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 ，一般均应先利用公式 进行化简。 完全类似例题见《数学最后冲刺》p107例2，p118例9 （6）设随机变量x服从参数为 的指数分布，则 = . 【分析】 已知连续型随机变量x的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知 ，于是 = = 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》p35第5题. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把 时的无穷小量 ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(a) . (b) . (c) . (d) . [ b ]  |
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