一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若 ，则a = ，b = .
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为 ，且 ，所以
，得a = 1. 极限化为
，得b = -4.
因此，a = 1，b = -4.
【评注】一般地，已知 ＝ a ，
(1) 若g(x) ® 0，则f (x) ® 0；
(2) 若f (x) ® 0，且a ¹ 0，则g(x) ® 0.
完全类似的例题见《数学复习指南》p36例1.60，p43第1(3)题，p44第2(10)题、
第6题，《数学题型集粹与练习题集》p19例1.34，《数学四临考演习》p79第7题，
《考研数学大串讲》p12例17、19.
(2) 设 ，则 .
【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.
【详解】因为 ， ，
       所以， .
【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.
类似例题在一般教科书上均可找到.
 (3) 设 ，则 .
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x - 1 = t，
                        ＝ .
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.
完全类似的例题见《数学复习指南》p96例4.17，《数学四临考演习》p61第2题，
p68第15题，《考研数学大串讲》p41例14.
（4）           设 ， ，其中 为三阶可逆矩阵,　则
　 　．
【分析】 将 的幂次转化为 的幂次, 并注意到 为对角矩阵即得答案.
【详解】因为
, .
故
                 ,
                 .
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．
 完全类似的例题可见《数学复习指南》p.291例2.13.
(5)         设 是实正交矩阵，且 ， ，则线性方程组 的解是　 ．
【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】因为 , 而且 是实正交矩阵, 于是 , 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以
                    .
【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．
 类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司) p.174例33.
(6) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则   .
【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】 由于 , 的分布函数为
故
.
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7) 函数 在下列哪个区间内有界.
(a) (-1 , 0).          (b) (0 , 1).             (c) (1 , 2).            (d) (2 , 3).       [  a  ]
【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而 ， ，
， ， ，
所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(a).
【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；
如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数f (x)
在开区间(a , b)内有界.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》p4例1.10，《数学四临考演习》p51
第15题.
(8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义，且 ，
                     ，则
(a) x = 0必是g(x)的第一类间断点.          (b) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(c) x = 0必是g(x)的连续点.
(d) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.                                      [  d  ]                                                     
【分析】考查极限 是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元 ，
可将极限 转化为 .
【详解】因为 = a(令 )，又g(0) = 0，所以，
       当a = 0时， ，即g(x)在点x = 0处连续，当a ¹ 0时，
，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性
与a的取值有关，故选(d).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.
完全类似的例题见《数学复习指南》p41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》p20例1.35.
(9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则
(a) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.
(b) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(c) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(d) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.                [  c  ]
【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0 < d < 1，当x î (-d , 0) è (0 , d)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)
的极小值点.
       显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x î (-d , 0)时，f (x) = -x(1 - x)， ，
       当x î (0 , d)时，f (x) = x(1 - x)， ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
       故选(c).
【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
完全类似的例题见《数学复习指南》p141例6.9，《考研数学大串讲》p96例5.
(10) 设 ， ，则
       (a) f(x)在x = 0点不连续.
       (b) f(x)在(-¥ , +¥)内连续，但在x = 0点不可导.
       (c) f(x)在(-¥ , +¥)内可导，且满足 .
       (d) f(x)在(-¥ , +¥)内可导，但不一定满足 .                        [  b  ]
【分析】先求分段函数f (x)的变限积分 ，再讨论函数f(x)的连续性与
可导性即可.
【详解】当x < 0时， ；
当x > 0时， ，当x = 0时，f(0) = 0. 即f(x) = |x|，
显然，f(x)在(-¥ , +¥)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(b).
【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数： 在 处
不可导；f (x) = 在 处有n阶导数，则 .
完全类似的例题见《数学复习指南》p95例4.15，《考研数学大串讲》p42例15.
(11) 设 在[a , b]上连续，且 ，则下列结论中错误的是
       (a) 至少存在一点 ，使得 > f (a).
       (b) 至少存在一点 ，使得 > f (b).
       (c) 至少存在一点 ，使得 .
       (d) 至少存在一点 ，使得 = 0.                                 [  d  ]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.
【详解】首先，由已知 在[a , b]上连续，且 ，则由介值定理，
至少存在一点 ，使得 ；
       另外， ，由极限的保号性，至少存在一点
       使得 ，即 . 同理，至少存在一点
       使得 . 所以，(a) (b) (c)都正确，故选(d).
【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.
完全类似的例题见《数学复习指南》p130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》p70例5.4.
(12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必须
(a)        当 时, .   (b) 当 时, .
(c) 当 时, .          (d) 当 时, .     [ d ]
【分析】 利用矩阵 与 等价的充要条件: 立即可得.
【详解】因为当 时, , 又 与 等价, 故 , 即 , 从而选 (d).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.
相关知识要点见《数学复习指南》p.284-286.
(13) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , 若 , 则 等于
(a)  .     (b)   .     (c)  .     (d)  .           [ b ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】 由 , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
.
故正确答案为(b).
【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.
见《数学复习指南》p.489分位数概念的注释.
(14) 设随机变量 独立同分布，且方差 ．令随机变量
， 则
(a)  ．   (b)  ．
(c)  ．    　(d)  ．           [ c ]
【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案..
【详解】 由于随机变量 独立同分布, 于是可得
            
                      
                       .
故正确答案为(c).
【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题.
相关知识点见《数学复习指南》p.454, 类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.