天津市第四十二中学 李艳杰

　　近几年高考中轨迹方程问题常与向量相结合，向量引入圆锥曲线可以启迪我们从一个新的角度去分析、解决问题，有利于开发智力，提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识，常能使很多繁琐的计算变得简单易行，起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。 fvO@l[ty0LIe= [ 本 资 料 来 源 于 贵 州 学 习 网 高考频道高考数学 http://Www.gzU521.com ] fvO@l[ty0LIe=

　　一、直接法求轨迹方程

　　例1：如图，已知f(1,0)，直线l：x=-1，p为平面上的动点，过点p作l的垂线，垂足为点q，且-·■=-·■。

　　(ⅰ)求动点p的轨迹c的方程；

　　(ⅱ)过点f的直线交轨迹c于a,b两点，交直线l于点m。

　　(1)已知-=1-,-=2-，求1+2的值；

　　(2)求-·■ 的最小值。

　　解法一：(ⅰ)设点p(x,y)，则q(-1,y)，由-·■=-·■得：

　　(x+1,0)·（2，-y)=(x-1,y)·(-2,y)，化简得c:y2=4x

　　解法二：(ⅰ)由-·■=-·■得：-·（-+-)=0，

　　∴(---)·（-+-)=0

　　∴-2--2=0

　　∴|-|=|-|

　　所以点p的轨迹c是抛物线，由题意，轨迹c的方程为：y2=4x。

　　(ⅱ)解法从略。

　　【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

　　例2：设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a，b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，若-=2-且-·■=1，则点p的轨迹方程是( )

　　a.3x2+-y2=1(x>0,y>0)

　　b.3x2--y2=1(x>0,y>0)

　　c.-x2-3y2=1(x>0,y>0)*V[tK:S2n)?`+=Pu7[ 此文转贴于我的学习网高考频道高考数学 http://www.Gzu521.com]*V[tK:S2n)?`+=Pu7

　　d.-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　解：设p(x，y)，则q(-x，y)，又设a(a，0)，b(0，b)，则a>0，b>0，于是-=(x,y-b),-=(a-x,-y)，由-=2-可得a＝-x，b＝3y，所以x>0，y>0又-＝(-a，b)＝(--x，3y)，由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)，所以选d。

　　二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。

　　例1：已知定点a(2,0)，点p在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动，∠aop的平分线交pa于q，其中o为原点，求点q的轨迹方程。

　　解: 设q(x,y),p(x1,y1)

　　-=(x-2,y)

　　-=( x1-x,y1-y)

　　又∵-=-=-

　　∴ -=2-

　　即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)

　　-

　　解得：-

　　代入x12+y12=1(x≠1)有：

　　-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)

　　即所求轨迹方程为：

　　(x--)2+y2=-(x≠-)

　　【点拨】用该方法解此类问题简单明了，若将q视为线段ap的定比分点，运用定比分点公式解本题，则计算过程既繁琐又容易出错。

　　例2：设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a、b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，若-=2-,且-·■=1,求p点的轨迹方程。

　　解：-=2-

　　∴p分有向线段-所成的比为2

　　由p(x,y)可得b(0,3y),a(-x,0)

　　∴- =(--x,3y)

　　∵q与p关于y轴对称, ∴q(-x,y),-且 =(-x,y)

　　∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　即所求点p的轨迹方程为-x2+3y2=1(x>0,y>0)

　　【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。

　　三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。

　　例1：如图，过定点a(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于m点，l2与y轴相交于n点，求线段mn中点p的轨迹方程。

　　解：设p(x,y)，则m(2x,0)，n(0,2y)

　　-=(2x-a ,-b)XZ[ 8jE4)Y3`5@5j[本_文_来_源_于_我_的_学_习_网高考频道高考数学 http://Www.GZU521.Com ]XZ[ 8jE4)Y3`5@5j

　　-=(-a,2y-b)

　　由-⊥-知-·■=0

　　∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0

　　即所求点p的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2

　　【点拨】用勾股定理解本题，运算繁琐，若用斜率解本题，又必须分类讨论，用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷，使解题优化。

　　例2：过抛物线y2=8x的焦点f的直线交抛物线于a,b两点，过原点o作om⊥ab，垂足m，求点m的轨迹方程。

　　解：设m(x,y), om⊥ab，f(2,0)

　　∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)

　　∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0

　　∴点m的轨迹方程为x2+y2-2x=0

　　由以上几例可以看出：轨迹方程的很多题目都可以用向量来探求思路。用向量解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”“垂直”，或结论与“垂直”有关。重要的是在学习和应用的过程中培养向量意识，使向量成为我们处理问题的基本工具。