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10. 已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且 -=λ-，-λ-(λ为非零参数，n=2，3，4，…) (ⅰ)若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值； (ⅱ)当λ>0时，证明--(n∈n*)； 当λ>1时，证明-+-+…+-<-(n∈n*) 解(ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3 n=4 -=λ-→x5=λ6 ∵x1，x3，x5成等比 ∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0 ∴λ=±1 (ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1 y1=y2=2>0，λ>0→yn>0 -λ-λ2-…λn-1- ∴-λn-1→-- ∴-- (ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3 进一步易推得 yn>xn -=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0 -- --=- ∴--，(n2) -+-+…+-1+-+…+-<-=- 注：第(ⅱ)问是用逐次代入法解决等量与不等量递推。 (三)综合题与应用题 综合题主要是数列与函数，数列与不等式的综合.数列部分的应用题是以“增长率”为基础加以变化. 1. 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f’(x)=6x-2，数列{an}的前n项和为sn，点(n，sn)(n∈n*)均在函数y=f(x)的图像上。 (ⅰ)求数列{an}的通项公式； (ⅱ)设bn=-，tn是数列{bn}的前n项和，求使得tn<-对所有n∈n*都成立的最小正整数m。 解(ⅰ)∵f(x)的图像经过坐标原点 ∴f(0)=c=0 又f’(x)=2ax+b=6x-2 ∴a=3，b=-2 ∴f(x)=3x2-2x sn=f(n)=3n2-2n， a1=s1=1 sn-1=3(n-1)2-3(n-1) an=sn-sn-1=6n-5，n2 a1=1也满足上式 ∴an=6n-5，(n=1，2，…) (ⅱ)bn=-=-[---] Yi= 6A\NN1�z*:F$\[ 本_资_料_来_源_于_贵_州_学_习_网 高考频道高考数学 Http://wwW.gzU521.coM )Yi= 6A\NN1�z*:F$\ tn=-(1--)<- m>10-- g(n)=10--，n↑，g(n)↑ -g(n)=10 ∴m=10 注：本题是函数与数列综合，第(ⅱ)问要有极限思想。 2. 已知an(an，bn)(n∈n*)是曲线y=ex上的点，a1=a，sn是数列{an}的前n项和，且满足sn2=3n2an+sn-12，an≠0，n=2，3，4，… (ⅰ)证明：数列{-}(n2)是常数列； (ⅱ)确定a的取值集合m，使a∈m时，数列{an}是单调递增数列； (ⅲ)证明：当a∈m时， 弦anan+1(n∈n*)的斜率随n单调递增。 解：(ⅰ)sn2-s2n-1=3n2gan， (sn+sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0 ∴sn+sn-1=3n2 sn+1+sn=3(n+1)2 两式相减：sn+1-sn-1=6n+3 ∴an+1+an=6n+3 an+2+an+1=6n+9 又两式相减an+2-an=6，n2 -=-=-=e6。得证 分析(2)由sn+sn-1=3n2 n=2:s2+s1=12→a2=12-2a 由an+1+an=6n+3 n=2:a3=3+2a n=3:a4=18-2a a2，a4，…，a2k是以a2为首项，公差为6的等差递增数列。 a3，a5，…，a2k-1是以a3为首项，公差为6的等差递增数列。 若{an}为递增数列，应有a1 - 证明(3)kn=-，kn+1=- 分析：{an}↑，{-}↑，要证{kn}↑ 注意到，{an}不是以6为公差的等差递增数列，用比较法kn+1-kn在计算中显然行不通。过去是“量”的转换，现在把数列转换成函数，用函数单调性解决数列的单调性。4Ik; "CG-f+==5a[转 贴 于 我 的 学 习 网 高考频道高考数学 HTtp://wwW.gzU521.coM)4Ik; "CG-f+==5a 设函数f(x)=- f’(x)=-，需证f’(x)>0，可推出f(x)↑ 又设g(x)=ex(x-x0)-(ex--) g’(x)=ex(x-x0) xx0 g’(x)>0，g(x)↑， ∴x=x0是g(x)唯一极小值点。 ∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0 ∴f’(x)>0，f(x)↑ 单调区间(-∞，x0)∪(x0，+∞) 上面是把数列转化为函数，下面还要把函数转化为数列。 令x0=an，an ∴-<- 再令x0=an+2，an ->- ∴kn 注：数列也是函数，用处理函数的思路，与方法也适用于数列，关键是抓住“转化”的转折点。   |
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