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8. 设数列{an}的前n项和为sn，且方程x2-anx-an=0有一根为sn-1，n=1，2，3，… (ⅰ)求a1,a2； (ⅱ)求{an}的通项公式 (ⅰ)n=1，a1=s1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-； n=2，s2=a1+a2=-+a2， s2-1=a2--， 代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，s2=-+-=-； (ⅱ)(sn-1)2-an(sn-1)-an=0，(sn-1)(sn-an-1)-an=0，!)x,!%+; RX4N;2u [本_文_来_源_于_我_的_学_习_网高考频道高考数学 http://Www.GZU521.Com ]!)x,!%+; RX4N;2u (sn-1)(sn-1-1)-(sn-sn-1)=0，sn·sn-1-2sn+1=0 以上是把an转化成sn，理由是把sn转换成an走不通，实际上求出sn，an也可求出。 由s1=-，s2=-，进一步可求出s3=-，猜想sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定sk=-， 由关于sn的递推式， sk+1=-=-=-， ∴sn=-，an=- 注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。 9. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0 证明(ⅰ)0 (ⅱ)an+1<-an3 证明(ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-， 先用数学归纳法证明：0 n=1由已知0 考虑函数f(x)=x-sinx，f’(x)=1-cosx， ∵0 ∴f’(x)>0，f(x)↑ f(x)在[0，1]上连续 ∴f(0) ∴0 又∵an+1=f(an)=an-sinan，00， ∴an-an+1=sinan>0 ∴0 (ⅱ)要证an+1<-an3，需证-an3-an+1>0，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0 g’(x)=-x2-1+cosx =-x2-2sin2- =2[(-)2-(sin-)2] 当0<-<-时，用单位圆易证->sin->0 ∴g’(x)>0,g(x)↑0 ∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0 -an3>an-sinan=an-1Lk!Fl+V7$�z{_Zr'Hy [此资料转贴于学习网高考频道高考数学 ]http://www.Gzu521.ComLk!Fl+V7$�z{_Zr'Hy 注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。   |
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