知识要点

　　1.函数的值域 h.^8TPp;}K~ [ 本 资 料 来 源 于 贵 州 学 习 网 高考频道高考数学 http://Www.gzU521.com ] h.^8TPp;}K~

　　求函数的值域是一个较复杂的问题，不管用什么方法，都要考虑其定义域。

　　(1)当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中函数值的集合。

　　(2)当函数用图像给出时函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。

　　(3)当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

　　(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。

　　2.函数的最值：

　　求函数的值域与最值是紧密相连的，方法类似。事实上，如果在函数的值域中存在一个最(小)大数，这个数就是函数的最(小)大值。

　　3.求函数的值域常用方法：

　　直接法；换元法；判别式法；不等式法；函数的单调性法；函数的有界性法；数形结合法；导数法等等。

　　典型例题

　　一、直接法

　　例1.求下列函数的值域

　　(1)y=-

　　解： x∈{x∈r｜x≠--}

　　y=-=--+-

　　∵x≠--

　　∴2x+1≠0 ∴-≠0∴y≠--

　　y∈{y∈r｜y≠--}

　　说明：形如y=-的函数可通过“分离常数”后再逐层分析。DDGLFYOJ{Eq qVI[ 此文转贴于我的学习网高考频道高考数学 http://www.Gzu521.com]DDGLFYOJ{Eq qVI

　　(2)y=-

　　解：x∈r,y=-=-1+-

　　∵x∈r∴2x>0∴1+2x>1∴0<-<1

　　∴0<-<2∴-1<-1+-<1

　　∴y∈(-1,1)

　　(3)y=4--

　　解：3+2x-x2 0

　　∴x∈[-1,3] y=4--

　　∵x∈[-1,3]∴-(x-1)2+4∈[0,4]

　　∴--∈[-2,0]

　　说明：一般的，一个函数可以由几个常见函数经过复合后得到。只要每一层的常见函数都可以求出值域，便可以运用“逐层分析”法求出函数的值域。

　　二、换元法

　　例2.求下列函数的值域

　　(1)y=2x+-

　　解：∵1-2x0 ∴x∈(-∞,-]

　　设t=-(t0) x=-

　　∴y=-t2+t+1=-(t--)2+-(t0)

　　∴y∈(-∞,-]

　　说明：对于形如y=ax+b+-的函数设t=cx+d且t0使之划归为二次函数的范围值域问题。

　　(2)y=x+-

　　解：∵1-x20∴x∈{x｜-1x1}

　　设x=sin,---

　　∴y=x+-=sin+cos=-sin(+-)

　　∵---∴--+--

　　∴--sin(+-)1

　　∴y∈[-1,-]

　　说明：对含有-的函数，可利用三角换元设x=asin，其中的范围只要能够使asin满足x的定义域即可。